Algèbre éclectique : un bouquet de thèmes et d'exercices pour le M1

Paris est le seul lieu du monde où il existe de ces maisons éclectiques où tous les goûts, tous les vices, toutes les opinions sont reçus avec une mise décente (Balzac, Une fille d'Ève, 1839).

Le livre que vous tenez en main est une oeuvre délicate, qui brasse des mathématiques accessibles aux étudiants de M1. Comme son titre l'indique, l'ouvrage réunit des sujets très divers, pensés nonobstant avec soin : il en résulte un assortiment de thèmes dont le dénominateur commun est l'harmonie des genres et la joliesse des résultats. Les auteurs l'ont construit sur une longue durée, dans un style rigoureux, sans se fourvoyer pour autant dans une minutie qui serait inappropriée au niveau où ils se placent. Ils expriment dans leur préface la pensée suivante : « Nous aurions aimé avoir un tel recueil quand nous étions encore étudiants, et en bénéficier quand nous préparions, plus tard, à l'intention de nos élèves, nos cours et nos séances de travaux dirigés. »

La théorie des modules et la théorie de Galois forment l'ossature de l'ouvrage. On y trouve aussi un chapitre exhaustif sur les anneaux Z/nZ, d'autres sur les anneaux généraux, les polynômes symétriques, les corps finis, la réduction des endomorphismes et la théorie algébrique des nombres.

Si la théorie des groupes, qui fait partie du programme de licence, occupe une place cruciale dans les prérequis, elle est revisitée ici avec fine attention. Car, comment ferait-on autrement si l'on a en vue l'introduction, comme il se doit, des modules sur un anneau R à travers les représentations de R dans des groupes abéliens, et si l'on prétend par ailleurs avoir une réelle maîtrise de la théorie des extensions algébriques des corps, quand il s'agira en particulier de la correspondance de Galois ?

Le public auquel s'adresse cet ouvrage dépasse, il va sans dire, celui des seuls étudiants de quatrième année des universités, et inclut les brillants élèves des classes préparatoires ainsi que leurs professeurs, mais également les agrégatifs et, au delà, tous les amoureux de l'algèbre en général. Gentiana Danila, Jean-Denis Eiden et Rached Mneimné réussissent avec brio et grand soin dans leur ambitieux projet, et nous offrent ainsi un texte original qui restera pour longtemps une référence de choix. Les lectrices et lecteurs qui viendront à ces mathématiques par l'attrait des fragrances promises moissonneront en travaillant ce livre des gerbes de blés dorés et de pépites mathématiques.