Astérisque, n° 450. Bar codes of persistent cohomology and arrhenius law for p-forms

Le présent travail montre que le comptage ou le calcul des petites valeurs propres du Laplacien de Witten en limite semi-classique peuvent être réalisés sans supposer que le potentiel est une fonction de Morse, comme l'avaient fait les auteurs dans leur article précédent. En relation avec la cohomologie persistante, nous montrons que les logarithmes normalisés de ces petites valeurs propres sont déterminés par le code barre de la fonction potentiel. En particulier cela démontre que ces quantités sont stables dans la topologie de la convergence uniforme de l'espace des fonctions continues. De plus, notre analyse fournit une méthode générale de calcul des facteurs correcteurs sous-exponentiels dans un grand nombre de cas.

The present work shows that counting or computing the small eigenvalues of the Witten Laplacian in the semi-classical limit can be done without assuming that the potential is a Morse function as the authors did in their previous article. In connection with persistent cohomology, we prove that the rescaled logarithms of these small eigenvalues are asymptotically determined by the lengths of the bar code of the potential function. In particular, this proves that these quantities are stable in the uniform convergence topology of the space of continuous functions. Additionally, our analysis provides a general method for computing the subexponential corrections in a large number of cases.