Géométrie tropicale

Journées mathématiques X-UPS 2008

Géométrie tropicale

En dépit de son qualificatif évocateur (et de l'illustration de couverture), la « géométrie tropicale » ne décrit pas une région foisonnante de la planète. Les « amibes » qu'on y rencontre, inoffensives, aideront le lecteur à mieux la comprendre à partir de la géométrie classique. Dans cette géométrie, les opérations d'addition et de multiplication sont respectivement remplacées par le maximum et l'addition. Que deviennent les polynômes et leurs graphes ? Quelle forme ont les courbes qui s'en déduisent ? Comment s'intersectent-elles ? Une des origines de ces questions réside dans la méthode de Newton pour la résolution des équations algébriques, et l'approche non archimédienne donne un nouvel éclairage sur cette géométrie.

Le texte d'Ilia Itenberg sert d'introduction à l'ensemble, et analyse en détail l'algèbre « max-plus » ; celui d'Erwan Brugallé nous montre l'intérêt de compter en géométrie tropicale ; enfin, celui de Bernard Teissier aborde la résolution d'équations algébriques.

Les journées X-UPS sont un stage de formation organisé par le Centre de Mathématiques de l'École polytechnique à l'intention des professeurs des classes préparatoires. L'objectif est double : d'une part satisfaire l'intérêt des professeurs des classes préparatoires pour l'actualité de la recherche en mathématiques, d'autre part leur apporter des connaissances utilisables dans leur enseignement.