Instabilités et bifurcations en mécanique

Ce troisième livre de la collection Mécanique Théorique porte sur les instabilités et bifurcations en mécanique.

En mécanique des solides, l'étude de l'équilibre des pièces comprimées a révélé, au XVIII^e siècle, qu'une tige élastique pourtant chargée suivant son axe pouvait fléchir brutalement. La dynamique des fluides a également fasciné physiciens et mathématiciens qui ont par exemple, dès le XIX^e siècle, essayé de comprendre l'apparition des vagues à la surface de l'eau. Mais c'est essentiellement au XX^e siècle qu'ont été développés les fondements mécaniques et mathématiques de ces solutions, désormais dites « bifurquées » pour marquer qu'existent simultanément, c'est-à-dire pour les mêmes valeurs des paramètres, d'autres solutions alors dites triviales ou fondamentales, que l'on n'observe pas en général pour des raisons de stabilité.

Ce livre s'attache à présenter des éléments de la théorie des bifurcations avant de les décliner dans deux grands domaines d'application en mécanique. L'ouvrage est divisé en trois grandes parties :

• la théorie locale des bifurcations, présentée par ses concepts et outils généraux ;
• la mécanique des fluides, présentée par une introduction aux instabilités hydrodynamiques ;
• La mécanique des solides, présentée par les bifurcations en mécanique des structures.

Plus précisément :

La théorie générale est exposée d'abord en dimension finie petite, ce qui permet d'introduire les principaux outils d'analyse que sont les variétés centrales et les formes normales. L'extension à la dimension infinie, requise par la mécanique des milieux continus, est ensuite discutée. L'aspect didactique et auto-suffisant de l'exposé est renforcé par un appendice détaillé d'analyse fonctionnelle qui de fait vaut pour l'ensemble de l'ouvrage.

La partie mécanique des fluides expose successivement les instabilités de fluides au repos, d'écoulements parallèles ouverts ou non, visqueux ou non visqueux. La dynamique non linéaire permet de revenir sur différentes équations de la physique théorique et comprend nombre de résultats et d'observations expérimentales.

La mécanique des structures minces s'étaye à chaque chapitre de l'étude de modèles simples, après quoi la réponse de poutres, plaques et coques est explorée d'abord dans les situations classiques puis dans des exemples de complexité progressivement croissante. La section, et l'ouvrage, se terminent par le cas des structures élastoplastiques.