Mémoires de la Société mathématique de France, n° 171. On the evolution by duality of domains on manifolds

Sur une variété, considérons une diffusion elliptique X de mesure invariante µ. Le but de ce papier est d'introduire et d'étudier les premières propriétés d'évolutions stochastiques de domaines (D_t)_t?[0,t] qui sont des processus duaux par entrelacement de X (où t est un temps d'arrêt strictement positif précédant l'apparition éventuelle de singularités). Il s'agit d'une extension du théorème de Pitman, puisqu'il ressort que (µ(D_t))_t?[0,t] est un processus de Bessel-3, à un changement naturel de temps près. Quand X est un mouvement brownien sur une variété compacte, ce processus dual à valeurs domaines est une modification stochastique du flot par courbure moyenne auquel est ajouté une dérive fournie par un quotient isopérimétrique qui l'empêche de s'effondrer en des singletons.

On a manifold, consider an elliptic diffusion X admitting an invariant measure µ. The goal of this paper is to introduce and investigate the first properties of stochastic domain evolutions (D_t)_t?[0,t] which are intertwining dual processes for X (where t is an appropriate positive stopping time before the potential emergence of singularities). They provide an extension of Pitman's theorem, as it turns out that (µ(D_t))_t?[0,t] is a Bessel-3 process, up to a natural time-change. When X is a Brownian motion on a Riemannian manifold, the dual domain-valued process is a stochastic modification of the mean curvature flow to which is added an isoperimetric ratio drift to prevent it from collapsing into singletons.