Astérisque, n° 458. Regularized unbalanced optimal transport as entropy minimization with respect to branching brownian motion

Il est maintenant établi que le problème dit de Schrodinger consistant à minimiser l'entropie d'une loi par rapport à celle d'un mouvement brownien de référence sous contrainte de densité à l'instant initial et à l'instant final, est équivalent à une version régularisée du problème de transport optimal quadratique. Dans cette étude, nous montrons que remplacer le mouvement brownien par un mouvement brownien branchant (MBB) permet d'inclure au modèle de transport optimal obtenu des effets de création et de destruction de masse, à un coût pouvant s'exprimer en fonction de la loi des branchements du MBB de référence.

Nous montrons ce résultat de deux façons différentes : d'abord par une approche reposant sur la dualité en optimisation convexe, et ensuite en construisant une correspondance entre les minimiseurs des deux problèmes grâce aux outils du calcul stochastique discontinu.

Enfin, nous montrons que notre nouveau modèle de transport optimal converge vers le transport optimal partiel dans la limite de bruit nul, et qu'il peut donner lieu à des simulations numériques.

It is now well understood that the Schrodinger problem aiming at minimizing the entropy of a law with respect to the law of a reference Brownian motion under density constraints at the initial and final times is equivalent to solving a regularized version of the quadratic optimal transport problem. In this work, we show that replacing Brownian motion with branching Brownian motion (BBM) implies allowing the creation and destruction of mass in the resulting optimal transport model, with a cost depending on the offspring distribution of the reference BBM.

We prove this result twice : first with a method relying on duality in convex optimization and then by building a correspondence between competitors of both problems thanks to discontinuous stochastic calculus.

Finally, we show that our new model converges to optimal partial transport in the small noise limit and is suitable for numerical simulations.