Théorie des ensembles comme fondement des mathématiques. Vol. 2. Théorie avancée, combinatoire et forcing

Ce volume constitue le deuxième volet d'une série en quatre tomes que Martial Leroy consacre à la théorie des ensembles moderne. Passionné de longue date par la théorie des ensembles, il nous livre ici la synthèse de nombreuses lectures et réflexions personnelles. L'exposé, rigoureux, est émaillé de commentaires historiques et philosophiques qui facilitent la lecture des passages les plus techniques.

Après avoir exposé les bases de la logique dans le premier volume, l'auteur ouvre celui-ci par deux chapitres fondamentaux consacrés aux théorèmes de complétude et de compacité, puis aux célèbres théorèmes d'incomplétude de Gödel. Ces résultats servent de socle à l'utilisation d'outils sémantiques dans l'étude des preuves d'indépendance. La suite du texte propose une exploration rigoureuse des modèles de la théorie ZFC, accompagnée de la résolution de plusieurs problèmes d'absoluité. L'univers constructible de Gödel est ensuite présenté, permettant d'établir la cohérence de l'axiome du choix avec ZF, ainsi que celle de l'hypothèse généralisée du continu avec ZFC. Un chapitre substantiel est dédié aux principes combinatoires, avant d'aborder la méthode du forcing de Cohen. Celle-ci mène à des résultats profonds tels que l'indépendance de l'axiome du choix (AC) et de l'hypothèse du continu (HC). Le livre s'achève sur diverses variantes du forcing : forcing produit, théorème d'Easton, forcing itéré, forcing propre, axiome de Martin, axiome PFA, et d'autres encore.

Le troisième volume portera sur la théorie descriptive des ensembles et la hiérarchie des grands cardinaux. Le quatrième explorera plusieurs théories alternatives à ZFC.