Mémoires de la Société mathématique de France, n° 175. On the pro-p Iwahori Hecke Ext-algebra of SL2(Qp)

Soit G = SL₂(F) où F est une extension finite Q_p. On suppose que le sous-groupe d'Iwahori I de G est un groupe de Poincaré de dimension d. Soit k un corps contenant le corps résiduel de F
Dans cet livre, nous étudions la Ext-algèbre graduée

E* = Ext*_Mod(G)(k[G / I], k[G / I]).

Sa composante de degré zero est la k-algèbre de Hecke du pro-p Iwahori H.
Nous étudions le H-bimodule E^d et déduisons que, étant donnée une k-représentation irréductible admissible lisse V de G, on a H^d(I, V) = 0 à moins que V ne soit la représentation triviale.
Lorsque F = Q_p avec p = 5, on a d = 3. Dans ce cas, nous décrivons le H-bimodule E* et la structure d'algèbre du centralisateur dans E* du centre de H. Nous en déduisons des résultats quant aux valeurs du foncteur qui attache à une k-représentation lisse (de longueur finie) V de G l'espace de I-cohomologie H* (I, V). Nous montrons que H*(I, V) est toujours de dimension finie. De plus, si V est irréductible, alors V est supersingulière si et seulement si H* (I, V) est un module supersingulier.

Let G = SL2(F) where F is a finite extension of Q_p. We suppose that the pro-p Iwahori subgroup I of G is a Poincaré group of dimension d. Let k be a field containing the residue field of F.
In this book, we study the graded Ext-algebra

E* = Ext*_Mod(G)(k[G / I], k[G / I])

Its degree zero piece E⁰ is the usual pro-p Iwahori-Hecke k-algebra H.
We study E^d as an H-bimodule and deduce that for an irreducible admissible smooth k-representation V of G, we have H^d(I, V) = 0 unless V is the trivial representation.
When F = Q_p with p = 5, we have d = 3. In that case we describe E* as an H-bimodule and give the structure as an algebra of the centralizer in E* of the center of H. We deduce results on the values of the functor which attaches to a (finite length) smooth k-representation V of G its cohomology with respect to I. We prove that H* (I, V) is always finite dimensional. Furthermore, if V is irreducible, then V is supersingular if and only if H* (I, V) is a supersingular H-module.