Mémoires de la Société mathématique de France, n° 182. Global in time Strichartz inequalities on asymptotically flat manifolds with temperate trapping

Nous démontrons des inégalités de Strichartz pour l'équation de Schrôdinger sur une grande famille de variétés asymptotiquement coniques. Si P est l'opérateur de Laplace et fo ? Co°°(R) une fonction de troncature égale à 1 près de zéro, nous montrons d'abord que la partie basse fréquence de toute solution e^-itPuo, i. e., fo (P)e^-itPuo, satisfait les mêmes inégalités de Strichartz que sur Rⁿ, en dimension n = 3. Nous montrons également que la partie haute fréquence (1 - fo) (P)e^-itPuo vérifie également des inégalités de Strichartz sans perte de dérivée à l'extérieur d'un compact, même si la variété possède des géodésiques captées mais dans un sens tempéré. Nous montrons ensuite que la solution complète e^-itPuo satisfait des inégalités de Strichartz globales en espace-temps à condition que l'ensemble capté soit vide ou suffisamment fin, et nous obtenons une théorie de la diffusion pour l'équation de Schrôdinger non linéaire L² critique dans ce contexte géométrique.

We prove global Strichartz inequalities for the Schrôdinger equation on a large class of asymptotically conical manifolds. Letting P be the nonnegative Laplace operator and fo? Co°°(R) be a smooth cutoff equal to 1 near zero, we show first that the low frequency part of any solution e-^itPuo, i. e., fo (P)e^-itPuo, enjoys the same global Strichartz estimates as on Rⁿin dimensionn = 3. We also show that the high energy part (1 - fo) (P)e^-itPuo also satisfies global Strichartz estimates without loss of derivatives outside a compact set, even if the manifold has trapped geodesics but in a temperate sense. We then show that the full solution e^-itPuo satisfies global space-time Strichartz estimates if the trapped set is empty or sufficiently filamentary, and we derive a scattering theory for the L² critical nonlinear Schrodinger equation in this geometric framework.